El número de Euler

El número e

El número de Euler, representado con la letra e, es un número irracional y trascendente muy importante, y se emplea en las matemáticas constantemente. Su gran utilidad se debe a la propiedad fundamental que lo define. ¿Sabes cuál es?

De dónde surge

Primero hablemos de historia. La constante que representa el número e ya había aparecido en numerosas tablas de logaritmos y tras el cálculo de determinadas integrales. No obstante, no se conocían más de 10 cifras decimales y no se sabía a ciencia cierta la obtención de dicha constante.

Euler popularizó dicha constante tras calcular rigurosamente su valor empleando un desarrollo en serie:

\(e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots, \ es \ decir \ , \ e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\)

Nombrando dicha constante con la letra “e” curiosamente no debido a Euler, sino porque la anterior vocal “a” era empleada por él para denominar a otra constante.

La función exponencial

Se denomina función exponencial a \(e^{x}\) y, es la única función cuya derivada es ella misma. Es decir, la “pendiente” de la función es la misma función. Pero es que la “pendiente” de la “pendiente” es también la misma función. Y así hasta el infinito… ¿No es impresionante? f(x)=f'(x)=f”(x)…. Esta propiedad tiene un valor incalculable. Esto, junto a otras propiedades hacen que dicha constante sea fundamental en las soluciones a ecuaciones diferenciales, probabilidad, geometría, números complejos… Para propiedades más avanzadas échale un vistazo a esto.

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Demostración del cálculo de su valor

Para finalizar, vamos a demostrar con relativa facilidad el cálculo de dicha constante. Partiremos de la base de que queremos calcular el valor de una constante a la que llamaremos “e” y, de la cual, sólo sabemos que su derivada es ella misma. Por lo tanto, las sucesivas derivadas serán iguales a la misma función. Denotamos la función \(f(x)=e^{x}\), y vamos a realizar un desarrollo en serie.

Sabiendo que la fórmula para el desarrollo en serie de Taylor centrado en un punto \(a\) es:

\(f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f”(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots+ {\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} \)

Elegimos el valor de \(a=0\) (Polinomio de Maclaurin) y desarrollamos:

\(f(x)=e^{x}=f(0) +{\frac {f'(0)}{1!}}(x-0)+{\frac {f”(0)}{2!}}(x-0)^{2} +\cdots+{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}(x-0)^{n} =\) \(= e^{x}= 1 +{\frac {1}{1!}}(x)+{\frac {1}{2!}}(x)^{2}+ +\cdots +{\frac {1}{n!}}(x)^{n}= \sum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{n!}*x^{n}) \rightarrow\) \(\rightarrow e^{x}= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{ x^{n} }{n!}\)

Que, particularizando para x=1 tal que \(e^{1}=e\), el número de Euler nos queda:

\( e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\)