
La fórmula
La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:
Para todo número real x. También se emplea la generalización:
La fórmula puede interpretarse geométricamente como una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, dibujada por la función al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de la recta que recorre la circunferencia unidad, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes.
En el caso de z=x+yi, y representa el ángulo en radianes mientras que x representa el radio, pudiendo generalizar la circunferencia unidad a circunferencia de radio cualquiera.
Tiene una gran utilidad a la hora de querer simplificar expresiones o unir términos, cobrando relevante importancia en la resolución de ecuaciones diferenciales o en el análisis de señales.
La demostración
Para demostrar la equivalencia vamos a hacer un desarrollo en serie de las funciones . Igualaremos términos idénticos de las series, de forma que algebráicamente se demuestra la equivalencia entre las funciones. Desarrollando la serie de Maclaurin de dichas funciones se tiene que:
(Al final de esta entrada se hizo un desarrollo en serie detallado para el número e)
Antes de comenzar a desarrollar las expresiones recordamos la unidad imaginaria i:
Finalmente, si introducimos un número complejo zi, siendo z un número real e i la unidad imaginaria, se tiene:
Expresión que coincide con la expuesta al inicio.
Caso particular: Identidad de Euler
Llegados a este punto, es muy sencillo comprender la identidad de Euler. Se da cuando el argumento es , es decir,

Logaritmo de números negativos
Hay que decir que, trabajando con números reales, no existen los logaritmos negativos. Esto se debe básicamente a la propia definición de un logaritmo, es decir, con , se tiene que
. Siendo a un número estrictamente mayor que 0 (De lo contrario el logaritmo no estaría bien definido), no existe ningún valor real de c tal que
sea < 0.
No obstante, en el terreno de los complejos, sí es posible. Además, empleando la fórmula de euler el cálculo se simplifica enormemente.
De la identidad de Euler sabemos que
Y aplicando el logaritmo natural en ambos términos: , con lo cual definimos el valor del logaritmo negativo.
De esta forma, podemos calcular el valor de cualquier logaritmo negativo aplicando las propiedades de los logaritmos.
¿Qué valor tiene ln(-a)?
En la segunda fórmula (e^z, o e^[x+iy]) el seno y coseno son de “y”, no de “x”.
Lo he corregido, muchas gracias!!