∞♾El hotel infinito de Hilbert♾∞

El número infinito es un “número” conocido por todos pero con un valor realmente desconocido. Si decimos que algo es “infinito”, ¿Cuánto de grande es? ¿Con qué puede compararse?

Qué pasaría si, por ejemplo, tenemos un número infinito de manzanas y le sumamos una más. Y si sumamos infinitas manzanas, ¿Cuántas habría? ¿2 veces infinitas?

David Hilbert inventó una historieta basada en un hotel de infinitas habitaciones al que le surgen problemas para alojar a sus visitantes y los resuelve exponiendo las propiedades del infinito.

El hotel infinito

En una ciudad muy turística y conocida de la costa española se reunieron 2 grandes empresarios para desarrollar el proyecto más ambicioso de su carrera: Construir el hotel con más habitaciones del mundo.

Para ello, en primer lugar debían decidir cuántas habitaciones tendría dicho hotel. Consultaron los récords de hoteles y decidieron que 50.000 habitaciones eran suficientes para superar al resto de hoteles.

Sin embargo, al poco tiempo anunciaron en las noticias que iban a construir en Las Vegas un hotel de 100.000 habitaciones. Por lo tanto, su esfuerzo iba a ser inútil al no construir el hotel más grande. El mismo empresario que propuso 50.000 habitaciones propuso posteriormente hacer 300.000. Sin embargo, el otro cayó en la cuenta de que podría volver a suceder lo mismo y propuso aún más habitaciones: 3.000.000 de habitaciones.

Pero no era suficiente, siempre iba a haber un riesgo. Siguieron diciendo cifras elevadísimas pero, si ellos eran capaces de construir un hotel de X habitaciones, ¿Por qué no iba a existir otro empresario capaz de hacer otro de X+1 habitaciones?

Llegaron a la conclusión de que la única forma de no ser superados en número de habitaciones era construir un hotel con infinitas habitaciones.

Tras un par de recalificaciones de terrenos y duro trabajo, el hotel infinito estaba listo.

Todos los medios mundiales se hicieron eco de la noticia y comenzaron a realizarse reservas a mansalva; todo el mundo quería alojarse en este hotel tan fantástico.

Y es que fue tal el éxito que, tras un par de semanas, el hotel ya se había llenado por completo de infinitos turistas y por lo tanto estaban todas las habitaciones llenas. Y esto es un problema grave puesto que da malísima imagen tener infinitas habitaciones pero que estén ocupadas.

Y fue entonces cuando los gerentes buscaron una rápida e ingeniosa solución. Iban a aprovecharse de las propiedades del infinito para seguir garantizando habitaciones a los nuevos turistas que estaban por llegar. Para ello necesitaban la cooperación de los turistas que ya estaban alojados, los cuales aceptaron a cambio de tener cena gratuita.

Llegó el día. El hotel estaba lleno de infinitos turistas y se presentó un turista más en busca de habitación. Para alojar al buen hombre, el recepcionista pidió a los turistas que cambiasen sus habitaciones. Pidió que todo el mundo revisase el número de su habitación, le sumase 1, y se moviera a la habitación con dicho número.

De esta forma la habitación 1 quedó libre para que el nuevo turista pudiese alojarse y se resolvió la situación sin problemas.

Sin embargo, las cosas se complicaron. Un día se presentó en la recepción un guía turístico que llevaba a un número infinito de turistas y necesitaba alojarlos inmediatamente.

El recepcionista volvió a resolver el problema. Pidió a todos los huéspedes que revisasen de nuevo el número de su habitación, lo multiplicasen por 2, y se movieran a la habitación con dicho número.

De esta forma, el infinito número de habitaciones pares fueron ocupadas por los antiguos infinitos turistas y las infinitas habitaciones impares fueron ocupadas por los nuevos infinitos turistas.

Y la cosa parecía comenzar a irse de las manos. El hotel se había hecho tan famoso que TODO el mundo quería alojarse allí para intentar llenarlo. Y es que llegó un día en el que, estando el hotel lleno de infinitos turistas, se presentaron infinitos guías turísticos que a su vez llevaban a infinitos turistas y, obviamente, todos querían alojarse en este fantástico hotel.

Tras mucho dolor de cabeza, el recepcionista llegó a la solución. Pidió a los huéspedes que tomaran su número de habitación, lo multiplicasen por 2 y se movieran a la nueva habitación. Inmediatamente, asignó a cada uno de los guías turísticos por orden un número primo distinto del 2. Fue asignando el 3, el 5, el 7… así hasta el infinito guía turístico.

Y les pidió a cada guía turístico que hicieran lo mismo con sus turistas. Que les fueran asignando un número natural a cada uno de ellos por orden hasta llegar al último: 1,2,3,4,5… Posteriormente, los turistas debían de tomar el número primo asignado a su guía y elevarlo al número que les había tocado. ¡Ese era el número de su habitación!

Las habitaciones pares fueron asignadas a los antiguos huéspedes. Como el conjunto de números primos es infinito y sus potencias sólo tienen como factor común dicho número, iba a haber suficientes habitaciones para todo el mundo sin problemas.

Es decir, se pudo alojar sin problemas a un número infinito de infinitos turistas en un hotel que solamente tenía infinitas habitaciones.

Y los problemas siguieron surgiendo: Infinitos buses con infinitos guías con infinitos huéspedes, infinitos barcos con infinitos buses con infinitos guíascon infinitos turistas… Pero no iba a ser problema para el hotel con habitaciones infinitas puesto que su recepcionista era experto en matemáticas.

Muchas veces no somos conscientes del tamaño de los números e imaginarnos un caso real en el que se implique x cantidad de algo nos da una idea de su tamaño. No es casualidad que para que los niños aprendan matemáticas primero les enseñen a sumar sus dedos u objetos.

Y es que con la lotería sucede algo parecido. Mucha gente compra lotería sin importarle su probabilidad de acierto y sin tener en cuenta la cantidad de gente que participa en el sorteo. Suelen escudarse en la inocente idea de “La lotería siempre le toca a alguien. Sé que la probabilidad es muy baja pero puede que ese alguien sea yo”.

Y es que esa justificación es muy infantil matemáticamente hablando. Si quieres ser consciente de la magnitud de los números que se mueven en lotería, te recomiendo que leas el artículo que realicé sobre la lotería, sus ganancias y sus probabilidades.