La leyenda del ajedrez y las monedas de oro

El cuento

Un rey aburrido

Cuenta la leyenda que a principios del siglo V vivía en la India un monarca muy poderoso y arrogante. Se había aburrido de todos los pasatiempos de su época y no los consideraba dignos de su realeza. Es por ello que organizó un concurso para encontrar un pasatiempo adecuado.

Rey indio

Un buen día un tal Sissa se presentó en su corte con un pasatiempo que, aseguró, conseguiría hacerle pasar un buen rato y emplear el ingenio; el ajedrez.

No sólo quedaba ahí la cosa. Con el juego de ajedrez, Sissa pretendía darle una lección de humildad. Conforme le explicaba las reglas, le demostró que era imposible derrotar al enemigo sin una cooperación entre el rey y el resto de piezas. Cada pieza en el ajedrez y cada soldado de su ejército debían armonizar sus fuerzas para conseguir la victoria, siempre protegiendo la vida del rey; la pieza más vulnerable del juego.

Un rey agradecido

El rey se maravilló tanto del juego que decidió ofrecer la cantidad de dinero que Sissa estimase oportuno.

-Sissa, quiero recompensarte por darme a conocer este pasatiempo. -dijo el rey.

-Soy bastante rico como para poder cumplir tu deseo más elevado -continuó diciendo- Pídeme lo que quieras

-Mi señor -dijo Sissa-, propongo que en este tablero que le he dejado coloque una moneda en la primera casilla. En la siguiente coloque dos monedas, y en la siguiente cuatro…

-¿Un par de monedas? -le interrumpió el rey

-Sí señor -respondió Sissa-. Así, colocando el doble de monedas de la anterior casilla llene todas las casillas del tablero. En la siguiente coloque ocho…

-Basta -interrumpió irritado el rey-. Recibirás el tablero con las monedas en las 64 casillas mañana por la mañana. Pero has de saber que tu petición es indigna de mi generosidad. Al pedirme tan mísera recompensa, menosprecias, irreverente, mi benevolencia.

Sissa sonrió y abandonó el palacio.


Por la noche, el rey se acordó del trato y se acercó a asegurarse de que el tablero ya estaba listo con todas las monedas. No encontró nada y le preguntó a uno de los sirvientes.

-Señor, están cumpliendo la orden -fue la respuesta-. Todavía estamos calculando cuantas monedas tenemos que coger de los sacos.

Ábaco

El rey frunció el ceño. No le gustaba que tardaran tanto en cumplir sus órdenes.

– ¿Por qué va tan despacio este asunto? —gritó iracundo el rey—. Que mañana, antes de que me despierte, hayan entregado a Sissa hasta la última moneda. No acostumbro a dar dos veces una misma orden.

A la mañana siguiente

Por la mañana comunicaron al rey que el matemático mayor de la corte solicitaba audiencia para presentarle un informe muy importante.

El rey mandó que le hicieran entrar.

– Antes de comenzar tu informe —dijo el rey—, quiero saber si se ha entregado por fin a Sissa la mísera recompensa que ha solicitado.

– Precisamente por eso me he atrevido a presentarme tan temprano —contestó el anciano—. Hemos calculado escrupulosamente la cantidad total de monedas que desea recibir Sissa. Resulta una cifra tan enorme…

– Sea cual fuere su magnitud —le interrumpió con altivez el rey— mis arcas están llenas. He prometido darle esa recompensa, y por lo tanto, hay que entregársela.

Rey enfadado

– Soberano, no depende de tu voluntad el cumplir semejante deseo. En las arcas no tenemos la cantidad de monedas que exige Sissa. Tampoco existe en las arcas de todo el reino. Ni siquiera en todas las arcas de todos los reinos juntos.

El rey escuchaba lleno de asombro las palabras del anciano sabio.

– Dime cuál es esa cifra tan monstruosa —dijo reflexionando.

– ¡Oh, soberano! Dieciocho trillones cuatrocientos cuarenta y seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones setenta y tres mil setecientos nueve millones quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince monedas.

El rey no pudo cumplir su compromiso y aprendió una segunda lección, la prudencia y la sagacidad.



Variaciones del cuento: La leyenda del tablero de ajedrez y las monedas de oro

La versión más difundida y publicada es la de la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de trigo. La leyenda del tablero de ajedrez y las monedas de oro es una variación de este en el que se emplean monedas en lugar de granos de arroz. Es la versión que leí de pequeño en la escuela y la que me parece más interesante.

Variación de La leyenda del tablero de ajedrez y las monedas de oro
Versión empleando granos de trigo

Las matemáticas tras el cuento

El fallo del rey fue no ser capaz de medir el orden de magnitud y, sobre todo, el crecimiento exponencial. En muchas ocasiones no sabemos hacerlo y nos encontramos con resultados impresionantes como en el ejemplo de La lotería – Lotería en españa. #Aprender a saber cómo de grande es un número.

Cálculo del número de monedas. Serie

Nuestra cantidad de monedas es:

N=1+2+4+8+16...=2^{0}+ 2^{1}+  2^{2}+  2^{3}...=\sum_{i=0}^{63}2^{i}

Esta es una serie que no es infinita pero sí que es difícil de calcular a mano ya que habría que sumar muchos términos.

Un truco para poder calcular la suma total sin ir sumando cada uno de los términos es el siguiente:

N=2^{0}+ 2^{1}+  2^{2}+  2^{3}...2^{62}+2^{63}

2*N=2^{1}+ 2^{2}+  2^{3}+  2^{4}...2^{63}+2^{64}

2*N-N=2^{64}-2^{0}=2^{64}-1= 18,446,744,073,709,551,615

Tamaño de las torres

Suponiendo que empleamos euros, el espesor de una moneda es de 2,33mm.

Si llamamos k a la casilla del tablero de la que queremos conocer su altura (en metros) siendo k=[1,2….64] se tiene que, la altura de una torre situada en la casilla k es de:

Altura=(2^{k}-1)* 0.00233

  • Para k=1 está claro, unos 0,00233 metros (1 moneda)
  • Para k=6 llegamos a unos 14,67 centímetros, la longitud de un boli bic
  • Para k=10 es 2,38 metros, la altura de una portería de fútbol reglamentaria
  • Para k=17 es 305 metros, la altura de la torre eiffel
  • Para k=22 es 9772 metros, la altura a la que vuelan los aviones
  • Para k=26 es de 156mil metros, y ya se habría superado la línea Karman (100mil metros), que separa la atmósfera y el espacio exterior. Es decir, sin haber llegado a completar la mitad del tablero ya necesitaríamos una torre que llegara al espacio exterior.
  • Para k=37 serían 320 millones de metros, siendo 384 millones la distancia a la Luna
  • Para k=46 se alcanzarían los 163 millones de kilómetros, siendo superior a la distancia al Sol (150 millonleyenes)
  • Para k=64 finalmente se alcanzarían 43 trillones de kilómetros (Unos 4,5 años luz). La distancia a la que se encuentra Alpha Centauri, el sistema estelar más cercano a la tierra.
  • Con k=64 tendríamos una torre que haría una masa de unos 1,38 * 10^{17}kilogramos. No obstante, no es extremadamente pesado. La Tierra, aunque no lo parezca, tiene 6*10^{24} kilogramos. Eso son unos 6 órdenes de magnitud superiores. La luna es de unos 7*10^{22} kilogramos.

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