Demostración de la ecuación de Bernoulli [Fluidos]

A muchos les sonará la ecuación de Bernoulli, esa ecuación que se emplea para resolver problemas de flujos ideales sin mucha complicación.

De hecho, mucha gente aplica directamente la ecuación de Bernoulli a cualquier problema de fluidos porque la otra alternativa es la de emplear las ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento, y para ello se necesita un nivel medianamente elevado de conocimiento.

Por ejemplo, las hemos empleado para comprender por qué se da un portazo cuando la ventana está abierta, no siendo necesario entrar en detalles muy técnicos y obteniendo un resultado lógico.

Se suele hablar de LA ecuación de Bernoulli. Es decir, la ecuación obtenida tras aplicar el mayor número de hipótesis y la más simple y general. Sin embargo, en este artículo veremos 2 versiones más que pueden aplicarse en el caso de que no se cumplan algunas hipótesis. Además, veremos el dominio de validez de las ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento

Las ecuaciones diferenciales de cantidad de movimiento son 3 de las 5 ecuaciones que componen las ecuaciones de Navier-Stokes (Las otras son la de continuidad y energía), ecuaciones capaces de describir a la perfección el movimiento de cualquier fluido y cuya aplicación total hasta la fecha no ha sido posible. De hecho, es uno de los 7 problemas del milenio, siendo recompensado por 1 millón de euros su análisis completo.

Su escritura es la siguiente:

\({\displaystyle \rho \left({\partial u_{x} \over \partial t}+u_{x}{\partial u_{x} \over \partial x}+u_{y}{\partial u_{x} \over \partial y}+u_{z}{\partial u_{x} \over \partial z}\right)= -{\partial P \over \partial x} + \mu \left[{\partial ^{2}u_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u_{x} \over \partial z^{2}}\right]+\rho g_{x}}\)

\({\displaystyle \rho \left({\partial u_{y} \over \partial t}+u_{x}{\partial u_{y} \over \partial x}+u_{y}{\partial u_{y} \over \partial y}+u_{z}{\partial u_{y} \over \partial z}\right)=-{\partial P \over \partial y} + \mu \left[{\partial ^{2}u_{y} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u_{y} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u_{y} \over \partial z^{2}}\right]+\rho g_{y}}\)

\({\displaystyle \rho \left({\partial u_{z} \over \partial t}+u_{x}{\partial u_{z} \over \partial x}+u_{y}{\partial u_{z} \over \partial y}+u_{z}{\partial u_{z} \over \partial z}\right)=-{\partial P \over \partial z} + \mu \left[{\partial ^{2}u_{z} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u_{z} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u_{z} \over \partial z^{2}}\right]+\rho g_{z}}\)

Que, en forma vectorial, se resumen a:

\({\displaystyle \rho \left({\partial \vec{u} \over \partial t}+ \left ( \vec{u}* \vec{\bigtriangledown} \right )* \vec{u} \right ) = -\vec{\bigtriangledown}P + \mu \bigtriangledown^{2}\vec{u}+\rho \vec{g}}\)

Como vemos, son unas ecuaciones bastante complejas que incluyen derivadas parciales de segundo orden. Es por ello que para resolver un problema nunca se suelen usar al completo, sino que se emplean hipótesis y se simplifican términos.

Las ecuaciones de Bernoulli

Las ecuaciones de Bernoulli expresan el movimiento de un fluido bajo ciertas condiciones. Lo que todas las ecuaciones tienen como base es que se asume un fluido barotrópico (Variación de densidad debida exclusivamente a la presión) y viscosidad nula, es decir, \(\mu \approx 0\). Es por ello que su aplicación queda limitada a los problemas donde se asume flujo ideal.

Reescribiendo las ecuaciones de cantidad de movimiento sin el término de viscosidad nos queda:

\({\displaystyle \rho \left({\partial \vec{u} \over \partial t}+ \left ( \vec{u}* \vec{\bigtriangledown} \right )*\vec{u} \right ) = -\vec{\bigtriangledown}P +\rho \vec{g}}\)

Es decir, las ecuaciones de Euler, quien curiosamente fue muy amigo de la familia Bernoulli.

Desarrollando el segundo término empleando operaciones matemáticas de álgebra (al final del artículo hay un desarrollo de los términos que demuestra la equivalencia):

\(\left ( \vec{u}* \vec{\bigtriangledown} \right )*\vec{u} = \vec{\bigtriangledown}\left (\frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2}\right ) + (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}) \times \vec{u}\)

Y sabiendo que el término \(\vec{g} \) puede expresarse como \(-\vec{\bigtriangledown} (g*z) = -g \vec{k}\)

Las ecuaciones se reducen a una forma general:

\({\displaystyle \rho \left({\partial \vec{u} \over \partial t}+ \vec{\bigtriangledown}\left (\frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2}\right ) + (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}) \times \vec{u} \right )= -\vec{\bigtriangledown}P – \rho \vec{\bigtriangledown} (g*z)}\)

Moviendo términos de un lado de la ecuación a otro:

\({\displaystyle \rho \left({\partial \vec{u} \over \partial t}+ \vec{\bigtriangledown}\left (\frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2}\right ) + \frac{\vec{\bigtriangledown}P}{\rho} + \vec{\bigtriangledown} (g*z) \right )= -\rho (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}) \times \vec{u} }\)

Dividiendo entre la densidad, agrupando los términos del gradiente y cambiando el orden del producto vectorial (Se cambia el signo) obtenemos la forma final:

\(\boxed{\displaystyle {\partial \vec{u} \over \partial t}+ \vec{\bigtriangledown} \underbrace{\left( \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z \right )}_B = \vec{u} \times (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}) }\)

Siendo B el término que conocemos como término de Bernoulli

Flujo estacionario e irrotacional

Vamos a aplicar las ecuaciones de Bernoulli para un flujo que es estacionario \(\left [ \frac{\partial}{\partial t} \right ] = 0\) e irrotacional \(\left [ \vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}=0\right ]\)

Bajo dichas condiciones, las ecuaciones se reducen a

\(\vec{\bigtriangledown} * B = 0 \iff B = \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z = cte\)

\(\boxed{\frac{1}{2} \rho \| \vec{u} \|^{2} + P+ \rho*g*z = cte}\)

Ecuación válida para todo el campo fluido. Esto lo corrobora el teorema de la circulación de Kelvin:

Una corriente de fluido barotrópico que inicia irrotacional, en ausencia de viscosidad se mantiene irrotacional en todo su movimiento.

Interpretación del Teorema de Kelvin

Flujo estacionario

Vamos a ponernos ahora en el caso de que únicamente se cumple que el fluido sea estacionario \(\left [ \frac{\partial}{\partial t} \right ] = 0\)

Las ecuaciones resultan:

\(\displaystyle \vec{\nabla} \left( \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + gz \right) = \vec{u} \times (\vec{\nabla} \times \vec{u})\)

Multiplicando las ecuaciones por la expresión vectorial de una línea de corriente \( \vec{s}\) tal que \( \vec{s} \parallel \vec{u}\), podemos proyectarlas sobre dicha línea de corriente y simplificar algunos términos:

• \(\vec{s}*\vec{\bigtriangledown} = \frac{\partial}{\partial s}\)
• \(\vec{s}* (\vec{u} \times (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u})) =0\) porque son perpendiculares

Nuestra ecuación resulta:

\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial s} \left( \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g z \right) = 0 \iff\)

\(\iff \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z = cte\)

\(\boxed{\frac{1}{2} \rho \| \vec{u} \|^{2} + P+ \rho*g*z = cte}\)

Ecuación igual a la anterior (La típica que siempre se usa) pero con un ámbito de aplicación limitado. Sólo puede emplearse entre puntos que se encuentren en la misma línea de corriente.

Sin embargo, no es necesario calcular ninguna línea de corriente, ya que la parte externa libre de un flujo por ejemplo constituye una línea de corriente.

Flujo irrotacional

En este caso, la única condición adicional es la de irrotacionalidad, es decir, \(\left [ \vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}=0\right ]\).

En este caso nuestras ecuaciones resultan:

\(\frac{\partial \vec{u} }{ \partial t}+ \vec{\bigtriangledown} \left( \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z \right ) = 0\)

Como la corriente es irrotacional, para el campo de velocidades \(\vec{u}\) podemos definir una función potencial \(\phi\) tal que \(\vec{u}=\vec{\bigtriangledown} \phi\) que siempre va a cumplir \(\vec{\bigtriangledown} \times \vec{\bigtriangledown}\phi = 0\). Agrupando todos los gradientes obtenemos:

\(\vec{\bigtriangledown} \left(\frac{\partial \phi }{ \partial t}+ \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z \right ) = 0 \iff\)

\(\iff\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2} + \frac{P}{\rho} + g*z = cte\)

\(\boxed{\rho \frac{\partial \phi}{\partial t}+\frac{1}{2} \rho \| \vec{u} \|^{2} + P+ \rho*g*z = cte}\)

Ecuación válida para todo el campo fluido pero más compleja que la primera ya que contempla un término temporal.

Significado físico de las ecuaciones

Presión dinámica, estática y total

Cuando escribimos la ecuación de Bernoulli, debemos de elegir el valor de una constante. Dicho valor vendrá dado por las condiciones de contorno del problema.

Esa constante recibe el nombre de presión total, y hace referencia a la “energía por unidad de volumen” total que tiene el flujo, y se define como el valor de presión que se alcanzaría en caso de frenar el flujo de manera isentrópica (No hay pérdida de energía).

Su valor únicamente variaría en el caso de producirse fenómenos de transferencia energética (Transferencia de calor, variación de la cantidad de movimiento…). Por eso en caso de existir efectos viscosos este término no permanece constante.

Por otra parte, en la parte izquierda de la ecuación encontramos el término de la presión estática, la presión hidrostática y la presión dinámica.

La presión estática es la que tiene un fluido, independientemente de la velocidad del mismo, y que se puede medir mediante la utilización de tubos. La presión total de un fluido se define como la suma de la presión estática, la presión hidrostática y la presión dinámica.

\( \boxed{\underbrace{\frac{1}{2} \rho \| \vec{u} \|^{2}}_{Dinamica} + \underbrace{P}_{Estatica} + \underbrace{\rho g z}_{Hidrostatica} = \underbrace{P_{o}}_{Total}}\)

Análisis energético

La presión tiene unidades de Fuerza / Superficie. Sabiendo que la energía tiene unidades de Fuerza * Distancia, podemos intentar comprender el concepto de presión como el de una energía por unidad de volumen.

La energía cinética de un punto se define con la fórmula \(\frac{1}{2} m v^{2}\). Al ser la masa \(m=\rho * V\), la energía cinética por unidad de volumen aparece con la forma de \(\frac{1}{2} \rho \| \vec{u} \|^{2}\).

La energía potencial de un punto se define con \(mgh\). Haciendo el mismo razonamiento, la energía potencial por unidad de volumen aparece como \(\rho g z\), tomando como z la coordenada de la altura.

De esta forma, tomando la presión total constante, si aumenta uno de los 3 términos (Presión, energía cinética o potencial) debe de variar la suma del resto.

• A altura constante, si aumenta la velocidad, disminuye la presión (Tubo de Venturi)
• A velocidad constante, si aumenta la altura, disminuye la presión (Hidrostática)
• A presión constante, si aumenta la velocidad disminuye la altura (Resalto hidráulico)

Es decir, que si aumenta una de las energías, la suma del resto tiene que disminuir tal que la energía total permanezca constante.

A esta ecuación hay que sumarle la ecuación de conservación de masa, que relaciona directamente la velocidad con la altura.

Teniendo 2 ecuaciones y 3 incógnitas, con fijar el valor de una de las incógnitas (Velocidad, presión, altura), podemos conocer cuál es el valor del resto.

Desarrollo del término de la ecuación de Euler

En los comentarios se ha hecho una apreciación sobre el desarrollo del término de la ecuación de Euler \(\left ( \vec{u}* \vec{\bigtriangledown} \right )*\vec{u} = \vec{\bigtriangledown}\left (\frac{1}{2} \| \vec{u} \|^{2}\right ) + (\vec{\bigtriangledown} \times \vec{u}) \times \vec{u}\)

A continuación muestro un desarrollo de cada uno de los términos para comprobar su veracidad: