🎲 El Problema de Monty-Hall: ¿Puede usarse en un test?

Seguro que muchos de mis lectores habrán visto la película de 21 blackjack (y los que no, ¡estáis tardando!). Y, tanto aquellos que la vieron, como aquellos otros que no pero que suelen ver vídeos virales, seguro que se acuerdan de haber visto esta escena:

El problema está claro pero quizás la solución no es tan intuitiva. En este artículo comprenderás por qué lo que se ve en el vídeo es cierto.

Mi amigo Nico, tras ver la película, pensó que esta misma deducción podría emplearse en un examen de tipo test, agrupando respuestas, descartando una de ellas y asegurándose una probabilidad de acierto mayor. Tiene sentido. Sin embargo, no es cierto. Es una malinterpretación del problema y de las condiciones de este. Veremos por qué no funciona.

El Problema de Monty-Hall

El problema de Monty Hall o paradoja de Monty Hall es un problema matemático de probabilidad basado en el concurso televisivo estadounidense Trato hecho (Let’s Make a Deal). El problema fue planteado y resuelto por el matématico Steve Selvin, pero fue bautizado con el nombre del presentador de dicho concurso, Monty Hall.

Planteamiento

Al concursante se le da la opción de elegir una puerta ente tres. El premio consiste en llevarse lo que hay detrás de la puerta. Se sabe que detrás de una de las puertas hay un coche y detrás de las otras dos puertas hay cabras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta y comunicado su elección, el presentador, que sabe qué hay detrás de cada puerta, decide abrir una de las otras dos puertas que han quedado sin elegir y abrirá la que contenga una cabra.

A continuación, le da al concursante la posibilidad de cambiar su elección. Puede mantener la puerta que eligió o cambiar su elección a la otra perta que queda por abrir. ¿Qué debería de hacer?¿Hay alguna diferencia?

Resolución y demostración

Uno, con una de las puertas abiertas y sólo 2 cerradas, tiende a “resetear” el problema y pensar que tiene un 50% de acertar ya que hay 2 puertas y él no tiene ni idea. Sin embargo, si empleamos la estadística, que nos hayan abierto una de las puertas supone una ventaja enorme.

Antes de nada vamos a resumir las premisas del problema:

  • El presentador siempre abre una puerta
  • Detrás de la puerta que abre siempre hay una cabra
  • La puerta que abre el presentador es una de las que se han quedado libres

La probabilidad de que el concursante acierte en su primera elección es de 1/3 mientras que hay 2/3 de probabilidad de que haya fallado, es decir, que esté en una de las otras dos puertas. ¿Qué cambia el hecho de que el presentador abra una de las otras dos puertas? Pues lo cambia todo, porque lo hace después de esa primera elección. Esto es, la elección del jugador afecta a la puerta que abre el presentador. No es un suceso aleatorio ni inconexo.

-Si el jugador en su primera elección elige la puerta con el coche (1/3 de acertar), el presentador abre cualquiera de las otras dos puertas, y el jugador pierde si cambia la elección.

-Si el jugador en su primera elección falla (2/3 de fallar), el presentador abre la otra puerta que contiene la cabra, y el jugador gana si cambia la elección.

Es decir, que si el jugador siempre cambia, tiene 1/3 de perder y 2/3 de ganar, siendo más beneficioso cambiar la elección. Si siempre cambias tu elección es como si realmente te dieran la posibilidad de elegir 2 puertas desde un principio, siendo la probabilidad de acierto de 2/3.

Aplicabilidad del problema de Monty-Hall en un examen de tipo test

El problema básico está claro y no admite debate alguno. Son matemáticas y las matemáticas nunca fallan.

Ahora surge la idea de aplicar este mismo problema o concepto a una situación cotidiana en la que nos podamos ver beneficiados. Y la primera idea está clara: en un examen tipo test. Pero… ¿Cómo se podría aplicar?

Condiciones del tipo test

  • Para cada pregunta hay 3 posibles respuestas.
  • Siempre somos capaces de descartar una de ellas sin equivocarnos.

Resolución

Pongamos que antes de leer las preguntas directamente hacemos 2 grupos con las respuestas aleatoriamente (un grupo con una pregunta, que será la elegida, y otro grupo con dos).

Posteriormente leemos la pregunta y descartamos la respuestas. Pueden suceder dos situaciones:

  • Situación 1: Nuestra elección fue la respuesta incorrecta (1/3 de que suceda). Entonces tenemos que elegir con una probabilidad de 1/2 la pregunta correcta de entre las 2.
  • Situación 2: Nuestra elección fue una de las posibles respuestas correctas (2/3 de que suceda)-> En el grupo que hay dos descartamos la 100% incorrecta y nos queda sólo una. ¿Cambiamos la respuesta para aumentar la probabilidad?

Sin tener los conceptos claros uno diría que sí. Al haber descartado una de las respuestas del grupo mayoritario, el 2/3 se concentra en una única respuesta como sucedía en el problema de Monty-Hall… ¿No?

Pues no.

Aquí entra un paso más avanzado. Resulta que al hacer los grupos lo hemos hecho al azar. Por lo tanto, había 1/2 de probabilidades de agrupar la respuesta 100% incorrecta con la realmente correcta y 1/2 de haberla agrupada con la otra incorrecta.

Si calculamos la esperanza matemática puede resultar de 2 maneras pero con el mismo resultado:

1) Jugamos incluso aunque se dé la situación 1: E=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

2) Jugamos sólo si se da la situación 2: E=1 \cdot \frac{1}{2} =\frac{1}{2}

Es decir, que al igual que nos indica la lógica, si de 3 respuestas dudamos en 2 de ellas, la probabilidad de acertar al azar es de 1/2 independientemente de la agrupación que hagamos.

Pero… ¿Cuál es la diferencia con el problema de Monty-Hall? ¿Qué se incumple?

La diferencia es que la respuesta incorrecta es incorrecta / “se va a abrir” independientemente de la agrupación que hagamos y la elección que hagamos, siendo realmente una información extra que tenemos previa al juego. La probabilidad surge entonces de agrupar dicha respuesta incorrecta con una u otra. Por lo tanto, sería equivalente al problema de Monty-Hall en el que haya 10 puertas pero 7 de ellas ya estuviesen abiertas previamente mostrando cabras. ¿Para qué meterlas en el juego? ¿Influirían?

Una forma de saber si el planteamiento es adecuado es reducir al absurdo.

Supongamos un examen tipo test en el que haya 10 posibles respuestas, de las cuales sabemos que 8 son 100% incorrectas. En el caso de que agrupemos 1 respuesta que no sabemos en un grupo individual y las otras 9 preguntas en otro grupo de las cuales descartamos 8… ¿Tendríamos un 90% de acertar si elegimos la respuesta del grupo numeroso? Y si tuviésemos un conjunto casi infinito de respuestas de las cuales desconocemos 2 e hiciéramos lo mismo… ¿Tendríamos un 100% de acertar? No tiene sentido.

¿Qué opinas? ¿Conoces otros problemas similares? ¿Te gustó el artículo? ¡Déjame un comentario!

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