Todo el mundo ha estudiado matemáticas, en mayor o menor nivel, y esta ciencia tiene tanto detractores como verdaderos apasionados. Lo que está claro es que la gran mayoría de las personas no quiere oír de matemáticas porque «son muy complicadas» o «a mí se me dan mal».
Y el problema de todo esto es la forma en la que se enseñan las matemáticas.
Uno desde que empieza a estudiar matemáticas aprende a sumar, restar, dividir y multiplicar. Hasta ahí vamos bien. La cosa se complica cuando empiezan a salir logaritmos, exponenciales, factorizaciones… matrices, derivadas, integrales… En definitiva, hay que aprenderse un montón de «reglas» estrictas que hay que seguir para calcular lo que te piden.
«Factorice esto, calcule la raíz cuadrada de esto otro, dígame la derivada de esto…» Uno acaba pensando que debe memorizar cómo hacer ciertas cosas, escupirlas en el examen y a otra cosa. Y que las matemáticas sólo sirven para «calcular» cosas que te piden.
Y eso es lamentablemente lo que se ve hasta bachillerato siempre que no hayas estudiado matemáticas más avanzadas por tu cuenta. Sin embargo, las matemáticas van más allá: no sirven para calcular cosas, sino que sirven para relatar la naturaleza, para describir fenómenos con una precisión milimétrica, y en definitiva, para hablar el idioma con el cuál se rige la naturaleza y con el que están escritas todas las cosas que nos rodean.
Las matemáticas como un lenguaje de la realidad
Hablar del comportamiento de la realidad o naturaleza es lo mismo que hablar de las ciencias.
Nombre genérico de las distintas ramas del saber humano, en especial las que tienen el mundo natural o físico como materias de estudio.
Definición de ciencia
En un principio la única ciencia era la filosofía, que se dedicaba al estudio de toda la realidad, incluyendo no sólo a las leyes del universo sino también al sentido de la existencia y las relaciones sociales entre humanos y/o animales. Posteriormente, en función de cómo se obtenía o elaboraba el conocimiento, la filosofía se dividió en ciencias agrupadas en dos grandes categorías:
- Ciencias formales: conjuntos sistemáticos de conocimientos racionales y coherentes no basados en la observación sino en la abstracción y la formalización de conceptos que garantizan una verdad absoluta. Las únicas ciencias formales son la Lógica y las Matemáticas.
- Ciencia empíricas: ciencias que justifican o verifican sus hipótesis mediante la experiencia u observación. Tratan de comprender la realidad y definirla lo más fielmente posible. Para evitar contradicciones y ser precisas se fundamentan en las ciencias formales. El resto de ciencias se enmarcan dentro de esta categoría: Física, Química, Economía, Historia, Lingüística…
El principal problema de las ciencias empíricas es que su árbol de conocimiento se sustenta sobre unos cimientos inexistentes. Todas estas ciencias dependen de la observación y experimentación, siendo imposible obtener a priori un conocimiento verdadero. ¿Cómo podemos, por ejemplo, dividir los seres vivos en cinco reinos si no hemos explorado por completo el océano ni el resto de planetas del universo? Si decimos en un discurso que vamos a repartir «mucho dinero»… ¿Cuánto es mucho? Y… ¿Cómo podemos definir la estructura de un átomo si no podemos observarlo?
Tranquilos… no os asustéis… el conocimiento no es tan inestable como parece. Gracias al método científico consistente en la observación sistemática, medición, experimentación, formulación, análisis y modificación de hipótesis podemos obtener el conocimiento más fiel a la realidad posible e incluso a veces establecer principios o leyes universales que se sabe que son 100% correctas en cualquier parte del universo.
Y precisamente, para poder asegurar al 100% ciertos conceptos, es necesario hacer una formulación rigurosa, la cuál se lleva a cabo mediante las ciencias formales.
La Lógica
Cuando intentamos hacer una definición de algo, lo primero que hacemos es emplear el lenguaje. Sin embargo, el lenguaje ya hemos visto que es cambiante, ambiguo y muy subjetivo. Depende de quién hable o escuche, una cosa puede ser de una forma u otra. Es de lo que se aprovechaban los sofistas.
«Poder convertir en sólidos y fuertes los argumentos más débiles», dice Protágoras. Gorgias dice que con las palabras se puede envenenar y embelesar. Se trata, pues, de adquirir el dominio de razonamientos engañosos. El arte de la persuasión no está al servicio de la verdad sino de los intereses del que habla. Llamaban a ese arte «conducción de almas». Platón dirá más tarde que era «captura» de almas.
La lógica es un conjunto de sentencias o afirmaciones, basadas en relaciones lógicas valga la redundancia, que aseguran que lo que se dice es cierto.
Unos ejemplos serían los siguientes:
- Si está soleado, entonces es de día.
- Está soleado.
- Por lo tanto, es de día.
- Todos los planetas giran alrededor del Sol.
- Marte es un planeta.
- Por lo tanto, Marte gira alrededor del Sol.
No son más que relaciones de validez lógica en las que se sustituyen «objetos» como A y B por palabras de nuestro lenguaje y que no se les puede objetar nada. Es por medio de relaciones lógicas bien construidas que se pueden afirmar cosas y llegar a conclusiones que garanticen la verdad absoluta (siempre que sea posible) acerca de un tema. Y cualquier afirmación o conclusión que pueda extraerse de ciencias como la Historia o la Biología deben de fundamentarse en un razonamiento lógico claro.
Las Matemáticas
Las matemáticas no son más que una extensión de la lógica aplicada a cantidades principalmente. Se definen los números naturales, que no son más que una forma de cuantificar una cantidad desde nuestra perspectiva humana, y se definen operaciones matemáticas básicas.
Si yo tengo 3 «cosas» y añado 2 más, está claro que tendré 5 «cosas». Esa es la suma y es algo universal que no admite otra posible respuesta (a menos que tires de falacias y paradojas que se ven expuestas con la reducción al absurdo). Puedo sumar cualquier cosa: desde personas hasta estrellas, y su validez no depende de la persona que lo haga.
Posteriormente se añaden otras operaciones básicas como la resta, multiplicación y división, fundamentadas en unos conceptos abstractos y absolutamente verdaderos, siendo realmente variaciones de la suma. Y más allá el resto de funciones elementales fundamentales como el logaritmo, el seno, la exponencial… (que no son más que la aplicación combinada de suma, resta, división y multiplicación de manera compacta) finalizando con conceptos más avanzados como la derivada o la integral.
Por poner un ejemplo de esto último, la derivada se fundamenta en hacer una «división» infinitesimal de cantidades muy pequeñas, como puede ser la velocidad instantánea en un instante de tiempo. Si un cuerpo ha recorrido 5 metros en 5 segundos, su velocidad media ha sido de 1 m/s. Sin embargo, si el cuerpo ha partido de velocidad nula y ha ido acelerando, al inicio la velocidad instantánea (velocidad en cada instante de tiempo) era 0 m/s y al final fue mayor de 1 m/s para poder completar el recorrido en 5 segundos. La velocidad instantánea, por lo tanto, se obtendría al derivar la variable distancia recorrida con respecto al tiempo, o lo que sería lo mismo, la división dada por el límite
\(\displaystyle \vec{v}(t_{0}) = \lim_{\bigtriangleup t \to 0} {\dfrac{\vec{r}(t_{0} + \bigtriangleup t ) – \vec{r}(t_{0}) }{ \bigtriangleup t }}\)
lo que sería «»análogo»» a calcular una especie de velocidad media en un intervalo de tiempo muy muy pequeño alrededor del instante \(t_{0}\) a estudiar.
Cuando uno estudia matemáticas, lo que hace es adiestrarse en un lenguaje. Es como cuando estudias inglés: haces ejercicios y repasas la gramática, ortografía, etc para no cometer errores. O como el que practica un baile o cualquier actividad física de coordinación que debe de ensayar todos los días para no cometer errores. Eso es lo que se hace con las matemáticas hasta bachillerato: practicar las normas básicas y aprender operaciones más complejas, pero siempre desde un punto de vista de adiestramiento y ensayo y no con utilidad.
Cuando uno a finales de bachillerato o ya en la universidad estudia física, es cuando se da cuenta de la utilidad de las matemáticas. Todas las leyes físicas que se enuncian deben de estar justificadas. Y es que el enunciado se hace mediante una afirmación lógica que se ve respaldada por una demostración matemática que traduce a números y relaciones lógicas lo ya dicho, demostrando la veracidad de lo expuesto.
Un claro ejemplo es el Teorema de Pitágoras. Se hace una afirmación: En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Y esta se corrobora con una demostración matemática de forma que queda validada y puede ser posteriormente empleada con total seguridad. Las ecuaciones son paquetes de conocimiento prevalidados que nos permiten usar las matemáticas con seguridad sin tener que estar constantemente demostrando la veracidad del origen de los cálculos.
Si se quiere algo más avanzado, puede recurrirse a la Teoría de la Elasticidad o a conceptos como las Ecuaciones de Navier-Stokes o Bernoulli.
En la Teoría de la Elasticidad, por ejemplo, se parte de una idea abstracta de un cuerpo de forma genérica al cuál por medio de vectores y demostraciones matemáticas (todo conceptual y abstracto, sin emplear ningún número o propiedad física) se hacen definiciones como la tensión o la deformación, que no es más que ponerle un nombre a magnitudes físicas que ocurren en la realidad, y que permiten la abstracción o formalización de una cosa tan física como lo son las fuerzas actuando sobre un cuerpo.
En física, en primer lugar se definen cosas básicas como por ejemplo la densidad: magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia o un objeto sólido. Esta se ve definida matemáticamente como:
\(\displaystyle \rho(\vec{x}) =\lim _{V\to 0}{\frac {m(V)}{V}}={\frac {dm (\vec{x}) }{dV (\vec{x}) }}\)
Es decir, empleando un concepto como la derivada, calculamos la densidad, una magnitud definida «de palabra» pero cuyo valor sigue un cierto razonamiento lógico: tomamos un volumen infinitesimal alrededor del punto de estudio y en ese pequeño volumen hacemos la división entre la masa contenida y el volumen estudiado: de esta manera la idea abstracta de derivada define una magnitud física real.
Por medio de las Leyes de Newton, podemos definir matemáticamente la relación proporcional entre una fuerza y la aceleración:
\(\vec{F}=m \cdot \vec{a}\)
Y con esos conceptos junto a la definición física de la presión, que no es más que una magnitud física que mide la proyección de la fuerza en dirección perpendicular por unidad de superficie:
\(p=\dfrac{d\vec{F_{A}}}{dA} \cdot \vec {n}\)
Podemos llegar a demostrar matemáticamente el Principio de Arquímedes obteniendo una demostración válida para cualquier cuerpo de forma indeterminada y para cualquier fluido. Es decir, que podemos asegurar y cuantificar sin riesgo de cometer ningún error la flotabilidad de un cuerpo de forma y peso X en un fluido de propiedades Y. Y eso es sólo posible mediante una demostración matemática abstracta.
Esto se podría alargar y podría poner más ejemplos como la mecánica analítica, que nos permite resolver problemas complejos de física sin estudiar fuerzas ni vectores por medio de pura abstracción matemática o el resto de ramas de la física que se definen con matemáticas.
A lo que quería llegar con este artículo es a exponer que las matemáticas la única utilidad que tienen es la de poder traducir o expresar verdades absolutas de la realidad y que lo que se estudian no es un conjunto de reglas inútiles sino un adiestramiento constante que nos permite emplearlas de una manera correcta (ya que un uso indebido como dividir entre 0 o hacer cosas prohibidas rompen los cálculos por completo).
Además, es necesario tener cierta soltura y saber cómo emplear la abstracción para poder abstraer problemas reales y poder plantear una ecuación matemática que nos permita calcular lo que estamos buscando saber.
Si os interesa conocer el origen de las cosas, os animo a que os paséis por la categoría de Demostraciones matemáticas, porque ahí encontraréis muchos conceptos físicos que se ven introducidos con matemáticas y es bastante interesante cómo se construye un castillo tan grande como la Teoría de la Elasticidad por medio de pequeños ladrillos de ecuaciones matemáticas simples basadas en una especie de materialización lógica de ideas abstractas.
