La reducción al absurdo (Reductio ad absurdum)

Introducción

Las matemáticas es el lenguaje que emplea el resto de disciplinas científicas como la física o la química para expresar ciertos comportamientos de manera exacta.

Siempre que se quiera elaborar un teorema acerca de algo, debe de ser demostrado empleando las matemáticas. Si matemáticamente es correcto, el teorema o la afirmación será cierta e inmutable (Siempre que las bases de dicho teorema lo sean).

Hay muchas formas de realizar una demostración matemática aunque el método más conocido es la demostración directa; Partimos de una hipótesis que queremos demostrar y, dando pasos lógicamente válidos, llegamos a una expresión que matemáticamente valida nuestra hipótesis inicial.

Un ejemplo de esto es la demostración del Teorema de Pitágoras. Partimos diciendo que en cualquier triángulo rectángulo se tiene que \(h^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}^{2} \ \), y lo demostramos empleando álgebra.

La reducción al absurdo

Otro método quizás menos conocido pero mucho más elegante a mi parecer es el método de la reducción al absurdo (Reductio ad absurdum). Este método consiste en demostrar que un resultado es cierto demostrando que NO puede ser de otra forma. Consiste en suponer que el resultado a demostrar es falso y llegar, a partir de ahí, a una contradicción.

Es decir, suponemos como cierto algo que en principio pensamos que es mentira y, tras realizar un par de operaciones matemáticas llegamos a una contradicción lógica. Esto indica que nuestra suposición de partida era mentira, quedando demostrado como cierto el caso contrario.

Ejemplos de reducción al absurdo

¿Es la raíz de 2 irracional?

En este caso queremos demostrar que la raíz de 2 es irracional. Pero, ¿Cómo podemos demostrarlo? ¡Empleando la reducción al absurdo!

Para ello partiremos de la siguiente hipótesis: La raíz de 2 es racional. Por ello la expresamos como el resultado del cociente de dos enteros \(p\) y \(q\);

\( {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}} , con \ p,q\in \mathrm {Z} \ tal \ que \ q\neq 0 \)

Y sin perder ninguna generalidad tomamos a \(p\) y \(q\) positivos y primos entre sí, de manera que \(\frac{p}{q}\) es una fracción irreducible.

Elevando ambos términos al cuadrado:

\(2= \frac{p^{2}}{q^{2}}\)

Y pasando el \(q^{2}\) a la izquierda llegamos a:

\(2q^{2}=p^{2}\)

El término de la izquierda es par. Es por ello que \(p^{2}\) debe de ser también par. Como \(p\) es un número racional, si \(p^{2}\) es par, \(p\) también debe de ser par. Lo suponemos de la forma \(p=2n\). Sustituyendo nos quedaría:

\(2q^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}, –> q^{2}=2n^{2}\)

Siguiendo el mismo planteamiento anterior, llegamos a que \(q\) es par ya que \(q^{2}\) es par.

Al ser \(p\) y \(q\) pares, tienen como factor común el 2. Esto contradice la suposición inicial de que \(p\) y \(q\) no tenían factores en común. Llegar a una contradicción siguiendo un razonamiento correcto implica que la premisa inicial de que \(\sqrt{2}\) era racional es falsa.

Por lo tanto, se demuestra que \(\sqrt{2}\) es irracional.

¿Hay infinitos números primos?

Hay muchas demostraciones de que existen infinitos números primos. La demostración más antigua que se conoce la realizó Euclides empleando la reducción al absurdo.

Vamos a partir de la siguiente premisa: Los números primos no son infinitos. De esta forma, diremos que tenemos un número \(n\) de números primos.

Describimos el conjunto de los números primos como:

\(P=p_{1}, p_{2}, p_{3}…. p_{n}\)

Y obtenemos ahora el siguiente número:

\(m= p_{1}* p_{2}*p_{3}*…. *p_{n} + 1\)

De manera que m es el producto de todos los números primos mas 1 y, en principio, no es primo ya que no se contempla en la lista de números primos. De esta manera, podría descomponerse como el producto de dos o más números primos.

Sin embargo, si dividimos m por cualquiera de los números primos obtendremos de resto 1. Por ello, debe de existir algún otro número primo que no se encuentre en la lista que sea divisor de \(m\).

Mediante esta contradicción llegamos a la conclusión de que la lista debe de ser infinita, quedando demostrado que existen infinitos números primos.

¿Existe algún número racional mínimo mayor que 0?

Partiremos de la siguiente hipótesis: Existe un número racional mínimo mayor que 0. Es decir, que existe un número racional positivo que podemos asegurar que es el más pequeño que existe. Definiremos ese número como \(k\).

Ahora, tomamos \(x=\frac{k}{2}\). Se tiene que \(x\) es racional positivo también.

De esta forma, \(x\) cumple las condiciones que definían a \(k\) pero es más pequeño que \(k\). Esto es una contradicción porque se supone que el más pequeño era \(k\).

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que NO existe un número racional mínimo mayor que 0.