Évariste Galois, el matemático más bizarro de la historia

En este mundo existen personas cuyas vidas son impresionantes y podríamos quedarnos escuchando sus historias durante horas sin cansarnos. Évariste Galois tiene una historia tan impresionante como la de muchas otras personas que pasan por este mundo. Sin embargo, este personajillo dejó su huella en el mundo por siempre ya que entre sus idas y venidas, con apenas 20 años y días antes de morir, desarrolló una teoría fundamental de la matemática moderna que lleva su apellido: «Teoría de Galois».

Fue tal su importancia y tan única que una de las asignaturas obligatorias del Grado en Matemáticas en muchas universidades del mundo se llama literalmente «Teoría de Galois».

Introducción

La figura del genio rebelde se ha repetido a lo largo de la historia en muchísimas estrellas fugaces: incomprendidos por sus coetáneos y bendecidos por los dioses con una cualidad precoz y excepcional. Enfrentados con frecuencia a la realidad y con un final trágico y prematuro.

“Vive rápido, muere joven y deja un bonito cadáver”, o eso dicen. Kurt Cobain, Marilyn Monroe… ser famoso y morir joven da muchos puntos para pasar a la posteridad. Suelen ser artistas, músicos, dramaturgos… Pero también los hay, desconocidos pero los hay, en las ramas de la ciencia.

Évariste Galois es un claro ejemplo de ello: Genio de las matemáticas y ariete de la revolución. El joven trágicamente superdotado que acabó convirtiendo su propia y corta vida en una obra de arte.

Historia

Galois nació en el seno de una familia parisina de pequeña burguesía en el año 1811 en plena guerra napoleónica. Este fue educado por su madre hasta los 12 años cuando entró al liceo Louis-le-Grand; el más prestigioso del país. Era un muchacho inteligente pero hasta la fecha no había profundizado en las matemáticas más allá de la aritmética básica.

En el liceo Galois tuvo un rendimiento notable aunque ninguna materia le llegó a llenar del todo. Sin embargo, en cuanto avanzó en las matemáticas, descubrió el placer intelectual que tanto le faltaba. Tras asimilar los conceptos «básicos» que se aprendían a esa edad, comenzó a leer libros más avanzados. En concreto, profundizó en el álgebra, una rama que por entonces todavía tenía muchas lagunas y cuestiones oscuras. Y de ese modo llegó a conocer la cantidad de problemas sin resolver que encerraba aquella disciplina.

Galois lo tenía claro: quería ser matemático. Y además, un matemático de los buenos, por lo que se propuso estudiar en la École polytechnique, la mejor universidad del país. Las mentes más brillantes del país querían estudiar allí, pero el acceso no era sencillo.

De hecho, Galois lo intentó dos veces, pero fracasó en ambas ocasiones. Además, la fortuna no estaba de su parte, ya que su padre se quitó la vida días antes de su segundo intento. Galois no llegó a asimilar del todo el rechazo y se sembró una semilla de rebeldía y oposición a la autoridad.

Cerrada la puerta de la escuela politécnica, Galois no se dió por vencido. Fue admitido en la Escuela Normal (École normale), un centro de menor prestigio, pero gracias al cual Galois podría asegurarse un futuro y profundizar a la vez en su vocación matemática.

Paralelamente a su entrada en la escuela normal, a sus 19 años ya había resuelto algunos problemas irresolubles hasta la fecha e incluso había mandado a revisión por parte de la Academia de Ciencias la teoría en la que había estado trabajando los años anteriores; la teoría de grupos.

Genios matemáticos de la época como Cauchy o Fourier recibieron sus estudios, pero no llegó a recibir una respuesta satisfactoria. Poco tiempo después se otorgó un premio por la teoría de grupos a Abel y Jacobi, lo cual hizo enfurecer muchísimo a Galois y acusó a la Academia de ser un fraude.

Afortunadamente, sus conclusiones habían sido publicadas previamente en un boletín menos conocido. Esto dejó constancia de que el joven Évariste había llegado mucho más lejos que el resto de matemáticos en lo que posteriormente se conocería como la teoría de Galois.

Sin embargo, todo esto ocurrió tras la muerte del joven. Todos los varapalos que sufrió el pobre Galois a lo largo de su corta vida le impulsaron a un estado de rebeldía brutal y sus acciones comenzaron a tener tintes políticos.

Galois participó activamente en las manifestaciones y sociedades republicanas y comenzó a dejar de lado su futuro. Tras numerosas y duras críticas hacia la dirección de su centro, fue expulsado de la Escuela Normal. Un par de días después, Galois sería detenido y encarcelado acusado de sedición tras un desafiante brindis en nombre del rey.

Una vez en prisión, Galois intentó retomar sus estudios. Finalizó las cuestiones pendientes en su trabajo y envió sus conclusiones a Poisson, quien inicialmente le recomienda enviar su trabajo a la Academia. Sin embargo, a medida que Poisson profundizaba en los estudios de Galois, comprendía cada vez menos. Llegó a la conclusión de que la teoría era errónea y se lo comunicó a Galois.

El propio Poisson, a pesar de su enorme prestigio matemático y de sus esfuerzos, no llegó a comprender los resultados que le presentaba aquella memoria. Galois recibió la carta de rechazo todavía en prisión.

Esa fue la gota que colmó el vaso. Un mes después de salir de la cárcel fue desafiado a un duelo a muerte y aceptó. Algunas fuentes dicen que fue un duelo por amor, y otras que fue un duelo por temas políticos.

Lo que sí que está claro es lo que sucedió la noche anterior. Galois estaba tan convencido de la inminencia de su muerte que pasó toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático. En estos últimos papeles, describió someramente las implicaciones del trabajo que había desarrollado en detalle y anotó una copia del manuscrito que había remitido a la academia junto con otros artículos.

Como era de esperar, Galois perdió el duelo y recibió un disparo fatal. El genio francés murió pronunciando sus últimas palabras a su hermano Alfredo:

«¡No llores! Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años».

Un año más tarde de su muerte, las contribuciones matemáticas de Galois se publicaron finalmente cuando Joseph Liouville revisó sus manuscritos. Este declaró que aquel joven, en verdad, había resuelto el problema de Abel por otros medios que suponían una verdadera revolución en las matemáticas.

La Teoría de Galois

El nacimiento de la teoría de Galois estuvo motivada por el intento de responder a la siguiente cuestión:

¿Por qué no existe una fórmula para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado (o superior) en términos de los coeficientes del polinomio usando operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) así como existe para las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado?

Es decir, si para una ecuación polinómica de segundo grado \(a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0\) hay una fórmula que nos da su solución:

\(\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)

(Cuya deducción se encuentra en este artículo)

Así como la hay para las de tercer y cuarto grado… ¿La habrá para las de quinto grado o superior? ¿Podemos asegurar que no existe, o por el contrario simplemente no la hemos deducido aún?

Pues bien, la teoría de Galois proporciona no solo una elegante respuesta a esta cuestión (Demuestra que no existen), sino que también explica en detalle por qué es posible resolver ecuaciones de grado inferior al quinto, y por qué las soluciones pueden expresarse mediante operaciones algebraicas.

Lo que hace es analizar las propiedades que deben de cumplir las soluciones a dichos polinomios y define operaciones como permutaciones entre los coeficientes que permiten dar una idea de la viabilidad o no de obtener una solución algebraica.

Además, dicha teoría proporciona respuestas a problemas clásicos de la constructibilidad mediante regla y compás como qué polígonos regulares son construibles mediante regla y compás, o por qué no es posible la trisección de un ángulo.