La famosa fórmula de ecuaciones de segundo grado

Fórmula ecuación de segundo grado

Introducción

Estoy seguro de que cualquiera que esté leyendo este artículo reconoce esta fórmula a pesar de no cursar estudios relacionados con las matemáticas.

Es la fórmula que todos hemos aprendido en el instituto y tenemos grabado a fuego cada vez que queremos hallar la raíz de un polinomio de segundo grado de la forma ax^{2}+bx+c=0

Pero, ¿Sabéis de dónde procede la fórmula para hallar las soluciones de las ecuaciones de segundo grado? Vamos a hacer un poco de álgebra

El binomio al cuadrado

Antes de deducir dicha fórmula debemos de emplear otra más básica y conocida por todos: la fórmula del binomio al cuadrado.

Se tiene que: (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab

Completando el binomio al cuadrado

Sabiendo la relación de izquierda a derecha podemos hacer lo mismo pero al revés; teniendo varios términos al cuadrado y cruzados agruparlos en una suma o resta elevada al cuadrado. Y esto es precisamente lo que debemos hacer para sacar la fórmula que estamos buscando.

4a^{2}+b^{2}+4ab+5c=(2a+b)^{2}+5c

Deducción de la fórmula

Agrupando términos

Para empezar quitamos el coeficiente al monomio de mayor grado:

ax^{2}+bx+c=0->x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0

Observamos 3 términos de los cuales uno de ellos está al cuadrado y el otro parece ser un término cruzado. ¿Os suena de algo? Efectivamente, podemos agruparlos en forma de binomio.

Identificando términos

  • Uno de los sumandos claramente es x
  • El término cruzado es  \frac{b}{a}x por lo que deducimos que el otro sumando es  \frac{b}{2a}

Ya tenemos los sumandos de nuestro binomio al cuadrado de forma que podemos agrupar varios términos y principalmente quitar ese cuadrado a la x

Vamos a ver qué obtenemos agrupando términos tal y como hemos dicho:

(x+ \frac{b}{2a})^{2}=x^{2}+ \frac{b^{2}}{4a^{2}}+ \frac{b}{a}x

Observamos que:

  • Nos sobra  \frac{b^{2}}{4a^{2}}
  • Nos falta   \frac{c}{a}

Por ello para hallar la equivalencia entre ambas formas sólo tenemos que sumar y restar términos.

x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0->( x+ \frac{b}{2a})^{2}- \frac{b^{2}}{4a^{2}} +   \frac{c}{a}  = ( x+ \frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}} =0

Agrupando términos y dejando el binomio a un lado nos queda:

  ( x+ \frac{b}{2a})^{2}  = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}

Haciendo la raíz cuadrada:

x+ \frac{b}{2a} =\pm  \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\pm \frac{\sqrt{ b^{2}-4ac }}{2a}

Finalmente, pasando el término a la derecha y dejando x solo nos queda:

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{ b^{2}-4ac }}{2a} =\frac{-b \pm  \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

Resultando ser la fórmula tan conocida y empleada para hallar las soluciones de ecuaciones de segundo grado.


Haciendo la raíz cuadrada

Una vez completado el binomio basta con hacer la raíz cuadrada a ambos términos y obtendremos una x sin ningún exponente. Sin embargo, debemos de recordar que estamos en álgebra y no podemos tomarnos a la ligera esta operación.

Estamos buscando los valores de x que cumplen esa relación. Observamos que puede haber (Y de hecho hay) 2 valores de x que cumplen dicha relación ya que lo que hay dentro del paréntesis puede tomar un valor positivo y negativo que al cuadrado sea idéntico al término de la derecha.

Llegados a este paso   ( x+ \frac{b}{2a})^{2}  = \frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}  sacamos la siguientes conclusiones:

  • Si el término de la derecha no es nulo y b no es nulo x toma valores diferentes
  • Si el término de la derecha es nulo tenemos un valor doble de x
  • Si b es nulo tenemos dos soluciones de x que son idénticas con el signo cambiado
  • Si el término de la derecha es negativo tenemos 2 soluciones complejas

Estos 4 casos se representan gráficamente respectivamente:

Soluciones distintas
… Si el término de la derecha no es nulo y b no es nulo x toma valores diferentes
Solución doble
… Si el término de la derecha es nulo tenemos un valor doble de x
Soluciones paralelas
… Si b es nulo tenemos dos soluciones de x que son idénticas con el signo cambiado
Soluciones complejas
… Si el término de la derecha es negativo tenemos 2 soluciones complejas

Gráficos generados con Desmos.com

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