El Teorema de la bola peluda

¡Buenas! En esta entrada escribiré acerca del teorema de la bola peluda. No nos dejemos engañar por el nombre, puesto que a pesar de parecer gracioso, tiene unas implicaciones brutales en la topología diferencial.

Tabla de contenidos

¿Por qué se llama así?

Para entender el teorema, primero haremos una analogía con algo cotidiano; una bola peluda:

Imaginemos que cogemos un peine y queremos peinarla, tal que todos los pelos se orienten en una dirección. En el caso de intentar peinar en una dirección lateralmente se produciría un “remolino” en la parte superior e inferior de la esfera (2 puntos discontinuos). En caso de peinar desde arriba hacia abajo se crearían 2 puntos con discontinuidad en ambas partes superior e inferior (2 puntos discontinuos).

El teorema

Antes de nada, la traducción de “Pelos peinados” en lenguaje matemático es “Campo de vectores tangente”, y se define tal que:

Un campo de vectores tangente sobre una superficie de $R^{3}$ es una aplicación que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en dicho punto. Considerando $S^{2}$ a la superficie generada por la esfera, dicho campo de vectores es una aplicación $V:S^{2}->R^{3}$ tal que para cada punto $P$ de $S^{2}$ se tiene que $V(P)$ genera un vector que parte de dicho punto y es tangente a la superficie.

El teorema dice asi:

Dada una superficie $S^{2}$ continua que pueda deformarse hasta convertirse en una esfera, y un campo vectorial $\ \ V(P)$ tangente a dicha superficie en todo punto $P$ , existe al menos un punto $P_{0}$ tal que $V(P_{0})=0$

Con lo cual, queda excluido el caso de toroides, en los que con relativa facilidad se demuestra que no es necesaria la existencia de dicha discontinuidad:

Implicaciones

La primera implicación es clara: No vas a poder peinarte sin que aparezca un remolino. Bueno, miento. En el caso de que tuvieras toda la cabeza cubierta de pelo ocurriría a ciencia cierta. No obstante, el teorema garantiza que existe como mínimo 1 punto. Es por ello que, a pesar de no tener la cabeza llena de pelos, todo el mundo tiene como mínimo 1 remolino, y hay personas que incluso tienen 2 o 3.

Otra implicación importante a gran escala es el tema del viento. El viento como tal es un campo vectorial tangente a la superficie de la tierra… ¿Y qué significa eso? Que en todo momento existe un punto en el planeta en el que se está produciendo un ciclón o anticiclón. Y el “ojo del huracán” es, ni más ni menos, que dicho punto.

Parametrización de esfera

Otra implicación es la presencia inevitable de uno o más puntos con plano tangente discontinuo en la parametrización de una esfera.

Con una parametrización de la superficie de la esfera de radio unidad:

$\left\{\begin{matrix} x=sen(\theta)*cos(\phi) \\ y=sen(\theta)*sen(\phi) \\ z=cos(\theta) \end{matrix}\right$ , con $\left\{\begin{matrix} 0 \leq \phi \leq 2\pi \\ 0 \leq \theta \leq \pi \end{matrix}\right$

Y de acuerdo a la siguiente notación:

Notación vectores — Como curiosidad, phi y theta “representan” la longitud y latitud respectivamente. Además, la vista en 2D es idéntica a la de un mapamundi.

Siendo $r_{\phi}\ _{x}\ r_{\theta}$ el vector perpendicular a la superficie (Vector director del plano tangente) y desarrollando los cálculos, se llega a que $r_{\phi}\ _{x}\ r_{\theta}=sen(\theta)*(sen(\theta)cos(\phi),-sen(\theta)sen(\phi),cos(\theta))$