El Teorema de la bola peluda

Bola peluda

¡Buenas! En esta entrada escribiré acerca del teorema de la bola peluda. No nos dejemos engañar por el nombre, puesto que a pesar de parecer gracioso, tiene unas implicaciones brutales en la topología diferencial.

¿Por qué se llama así?

Para entender el teorema, primero haremos una analogía con algo cotidiano; una bola peluda:

Imaginemos que cogemos un peine y queremos peinarla, tal que todos los pelos se orienten en una dirección. En el caso de intentar peinar en una dirección lateralmente se produciría un “remolino” en la parte superior e inferior de la esfera (2 puntos discontinuos). En caso de peinar desde arriba hacia abajo se crearían 2 puntos con discontinuidad en ambas partes superior e inferior (2 puntos discontinuos).

El teorema

Antes de nada, la traducción de “Pelos peinados” en lenguaje matemático es “Campo de vectores tangente”, y se define tal que:

Un campo de vectores tangente sobre una superficie de  R^{3} es una aplicación que asocia a cada punto de la superficie un vector tangente a la misma en dicho punto. Considerando  S^{2}  a la superficie generada por la esfera, dicho campo de vectores es una aplicación  V:S^{2}->R^{3} tal que para cada punto  P de   S^{2} se tiene que  V(P) genera un vector que parte de dicho punto y es tangente a la superficie.

Campo de vectores tangente

El teorema dice asi:

Dada una superficie S^{2} continua que pueda deformarse hasta convertirse en una esfera, y un campo vectorial \ \ V(P) tangente a dicha superficie en todo punto P , existe al menos un punto P_{0} tal que V(P_{0})=0


Con lo cual, queda excluido el caso de toroides, en los que con relativa facilidad se demuestra que no es necesaria la existencia de dicha discontinuidad:

Toroide

Implicaciones

La primera implicación es clara: No vas a poder peinarte sin que aparezca un remolino. Bueno, miento. En el caso de que tuvieras toda la cabeza cubierta de pelo ocurriría a ciencia cierta. No obstante, el teorema garantiza que existe como mínimo 1 punto. Es por ello que, a pesar de no tener la cabeza llena de pelos, todo el mundo tiene como mínimo 1 remolino, y hay personas que incluso tienen 2 o 3.


Otra implicación importante a gran escala es el tema del viento. El viento como tal es un campo vectorial tangente a la superficie de la tierra… ¿Y qué significa eso? Que en todo momento existe un punto en el planeta en el que se está produciendo un ciclón o anticiclón. Y el “ojo del huracán” es, ni más ni menos, que dicho punto.

Ojo del huracán

Parametrización de esfera

Otra implicación es la presencia inevitable de uno o más puntos con plano tangente discontinuo en la parametrización de una esfera.

Con una parametrización de la superficie de la esfera de radio unidad:

 \left\{\begin{matrix} x=sen(\theta)*cos(\phi) \\ y=sen(\theta)*sen(\phi) \\ z=cos(\theta) \end{matrix}\right, con  \left\{\begin{matrix}  0 \leq \phi \leq 2\pi \\ 0 \leq \theta \leq \pi \end{matrix}\right

Y de acuerdo a la siguiente notación:

Notación vectores
Como curiosidad, phi y theta “representan” la longitud y latitud respectivamente. Además, la vista en 2D es idéntica a la de un mapamundi.

Siendo r_{\phi}\ _{x}\ r_{\theta} el vector perpendicular a la superficie (Vector director del plano tangente) y desarrollando los cálculos, se llega a que r_{\phi}\ _{x}\ r_{\theta}=sen(\theta)*(sen(\theta)cos(\phi),-sen(\theta)sen(\phi),cos(\theta))

Quedando patente la discontinuidad de dicho plano tangente en los puntos con \theta=0 \ y \ \pi, es decir, en los polos.

Un comentario

  1. Jaja que curioso!

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