Si se derrite el hielo, ¿Aumenta el nivel de agua? Demostración matemática

Estoy seguro de que cualquiera que esté leyendo este artículo lo ha pensado en algún momento. Bien sea bebiendo un refresco, jugando a hundir el hielo en un vaso o tras ver en las noticias que sube el nivel del agua por derretirse los polos.

Y es que el agua es, a pesar de ser el líquido más común, el que posee las propiedades más extrañas. Y una de ellas es que, al disminuir su temperatura y pasar a fase sólida, aumenta su volumen. Esto implica que su densidad disminuya y que por tanto el hielo flote.

Vamos a demostrar matemáticamente si al derretirse un hielo que flota en agua hará que incremente el volumen de líquido o no.

Demostración de variación de volumen al derretirse el cubito

Supongamos un cubito de hielo en un vaso de agua con nivel de agua inicial Ho

Cubito de hielo

Llamemos V_{hielo} al volumen total del hielo, de forma que en todo momento  V_{hielo} = V_{s}+V_{ns} haciendo referencia a “sumergido” y “no sumergido”.

Pero, ¿Qué relación existe entre las proporciones de Vs y Vns? Vamos a aplicar el Principio de Arquímedes en nuestra posición de equilibrio.

Recordemos en qué consiste este principio:

Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del fluido desalojado

El peso total es P=\rho_{h} V_{hielo} g

El empuje recibido (Peso del líquido desplazado) es E=\rho_{a} V_{s} g

Siendo “h” de hielo y “a” de agua. Igualando E=P llegamos a:

V_{s}=\frac{\rho_{h}}{\rho_{a}}V_{hielo}

Lo que nos permite calcular cuanto volumen se sumerge en función de los datos (Densidades y volumen).

En esta situación de reposo con el hielo ocupando un volumenV_{s} se tiene que el nivel de agua es Ho. Vamos a calcular qué volumen total tendrá el cubito de hielo en forma líquida.

Primero aplicamos conservación de la masa. De esta forma se tiene que:

M_{hielo}=\rho_{h}V_{hielo}=\rho_{a} V_{derretido}

Siendo Vderretido el volumen de agua generado por el hielo al derretirse.

Despejando el valor de Vderretido:

V_{derretido}=\frac{ \rho_{h} }{ \rho_{a} } V_{hielo}

Pero recordemos de la posición de equilibrio que la relación entre el volumen de hielo total y el sumergido es:

V_{hielo}=\frac{\rho_{a}}{\rho_{h}}V_{s}

Introduciendo el término V_{hielo}:

V_{derretido}=\frac{ \rho_{h} }{ \rho_{a} } * \frac{\rho_{a}}{\rho_{h}}V_{s} =V_{s}

Lo que demuestra que el volumen ocupado por la parte del hielo que se sumerge y el volumen total de agua que genera el hielo al derretirse es el mismo.

Por lo tanto, una vez derretido el nivel de agua no variará.

Si el nivel de agua no varía, ¿Por qué se habla del hielo de los polos y el nivel del agua?

Supongamos que tenemos un iceberg de varias toneladas flotando en medio del océano. Si este se derrite, aplicando el mismo planteamiento que con el cubito de hielo, el nivel de agua no variará. Sin embargo se asocia el deshielo con el incremento del nivel de los océanos.

Esto es porque, si bien una masa de hielo flotante no afecta al nivel del agua, el hielo que se derrite que se encuentra sobre tierra firme si. La Antártida por ejemplo es un continente cubierto completamente por hielo, pero este hielo no flota sobre el océano, sino que descansa sobre tierra firme. Por lo tanto, si se derrite el hielo y/o se desprende algún fragmento de hielo al océano, incrementará el nivel del agua (Así es como se forman los icebergs). Lo mismo ocurre con islas como Groenlandia o las del polo norte.

Otra conclusión del experimento

En este caso concreto nos hemos centrado en calcular cuanto volumen de hielo se sumerge dado las densidades, pero… ¿Por qué no hacer el caso inverso?

De nuestra fórmula:

V_{s}=\frac{\rho_{h}}{\rho_{a}}V_{hielo}

Podemos extraer un valioso dato como es la densidad o incluso el peso de un cuerpo sin tener una balanza o cualquier instrumento mecánico. Sólo empleando líquidos y algún recipiente graduado… ¿Pero cómo?

Vamos a estudiar el caso general de tener un cubito de hielo de forma irregular y querer calcular su peso y su densidad sin tener una balanza. ¿Cómo lo hacemos?

Primero necesitamos conocer su volumen total. Para ello emplearemos el otro concepto que también introdujo Arquímedes y que popularizó la expresión ¡Eureka!; El volumen de un cuerpo sumergido en un líquido es igual al incremento de volumen del líquido.

Sin embargo, el hielo flota, y por ello no podemos conocer su volumen total. Llegados a este punto tendríamos dos opciones:

  • Una sería tomar una piedra, meterla en nuestro vaso de medición con agua y medir su volumen. Luego, meter el cubito y poner encima la piedra, de manera que ambos cuerpos se sumerjan y calcular el volumen total. Ahora para calcular el volumen del hielo sólo tenemos que restar los volúmenes.
  • Otra opción sería sumergir el hielo en un líquido con menor densidad. El aceite de oliva no nos vale puesto que su densidad es prácticamente idéntica a la del hielo, y no podemos asegurar que se hunda. Sin embargo, el alcohol (Etanol) es mucho menos denso (0,789 kg/L frente a los 0,916 kg/L del hielo). Un experimento curioso para saber si el cubata va demasiado cargado sería ver si los hielos se hunden [Quizás haga un artículo sobre ello :P]
Hielo en alcohol (Izquierda) y en agua (Derecha)
Hielo en alcohol (Izquierda) y en agua (Derecha)

Una vez conocido el volumen total del hielo, necesitamos conocer el volumen que se sumerge. Para ello sólo tendríamos que colocarlo en el vaso de medición con agua y ver cuanta agua se desplaza.

Una vez conocido estos datos y la densidad del agua (Que podemos suponer igual a 1) llegamos a:

 \rho_{h} = \rho_{a} \frac{V_{s}}{ V_{hielo} }\approx  \frac{V_{s}}{ V_{hielo} }

El peso de nuestro cubito de hielo no sería más que

 M_{h} = \rho_{h} V_{h}

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