Demostración geométrica y algebraica del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras, las fórmulas básicas de área y volumen y la mítica ecuación para resolver ecuaciones de segundo grado es lo único que la mayoría de la gente que no ha estudiado una carrera técnica recuerda de las matemáticas de instituto.

El teorema de Pitágoras es uno de los teoremas más antiguos que se conoce y se debe su nombre a Pitágoras, quien demostró el siguiente teorema en el siglo VI a.C.:

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Siendo la hipotenusa el lado de mayor longitud y los catetos los otros lados

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

Y digo demostró porque el empleo de dicha relación en los triángulos en construcciones se remonta a tiempos más antiguos. Sin embargo, no hay documentos anteriores a Pitágoras en los que se demostrara dicho teorema.

Además de ser el teorema más conocido, es de los que más demostraciones tiene (Probablemente el que más). Esto se debe en parte a que en la edad media se exigía una nueva demostración del teorema de Pitágoras para alcanzar el grado de «Magíster matheseos».

Como he dicho hay infinidad de demostraciones. En este artículo voy a demostrarlo por dos formas: La algebraica ya que es la más sencilla e intuitiva, y la geométrica, que es algo más clásica y que se supone que empleó Pitágoras en su demostración.

Demostración algebraica

Esta es la demostración más intuitiva y más fácil de explicar de todas las existentes.

Para empezar partiremos de un cuadrado de lado (a+b) compuesto por 4 triángulos rectángulos (De lados a,b y c) y un cuadrado de lado c

Vamos a demostrar que \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) independientemente de los valores a,b y c tal y como asegura el teorema.

Vamos a hacer un recuento de áreas:

• El cuadrado grande tiene un área igual a \((a+b)^{2}\)
• Cada triángulo tiene un área de \(\frac{a*b}{2}\), lo que hacen un área total los 4 triángulos de \(2*a*b\)
• El cuadrado interior tiene un área de \(c^{2}\)

¡No queda nada!

Entonces se tiene que el área del cuadrado grande es igual a la suma del área de los triángulos y el cuadrado pequeño. Lo que matemáticamente se traduce a una ecuación:

\((a+b)^{2}=2*a*b+c^{2}\)

Desarrollando el binomio al cuadrado

\((a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2*a*b=2*a*b+c^{2}\)

Y finalmente restando el término 2ab nos queda:

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

Quedando demostrado de una forma muy bella y elegante el famosísimo teorema de Pitágoras

Aquí puedes verlo gráficamente

Demostración geométrica

Como demostración geométrica vamos a emplear la que en teoría empleó Pitágoras y que es probablemente la más intuitiva de las geométricas. Para ello se basó en el concepto de semejanza de triángulos.

Partiremos del triángulo de la figura con los puntos así marcados. La altura del triángulo la marca el segmento CH y lo divide en dos triángulos más pequeños, uno de base b‘ y otro de base a’. a’ y b’ son las proyecciones sobre la base del triángulo de a y b respectivamente.

Los tres triángulos ABC, AHC Y BHC son semejantes. Es decir, la proporción entre los lados y los ángulos es idéntica. Son el mismo triángulo pero en distintas escalas.

De ello se extrae la siguiente equivalencia (b sería equivalente a decir c’):

\(\frac{b’}{b}=\frac{b}{c}\)

¿No lo ves? Bueno, para ello he pintado el ángulo \(\alpha\)

No vale emplear funciones para una demostración geométrica, pero para que sea intuitiva la relación de semejanza voy a hacer una equivalencia:

\(b’=b*cos(\alpha)\) \(b=c*cos(\alpha)\) \(cos(\alpha)=\frac{b’}{b}=\frac{b}{c}\)

Con lo cual se demuestra la equivalencia de semejanza.

Aplicando lo mismo para a y a’ y colocando las fracciones convenientemente llegamos a:

\(\frac{b}{b’}=\frac{c}{b} \) \( \frac{a}{a’}=\frac{c}{a}\)

Lo cual nos dice que

\(a^{2}=a’*c\) \(b^{2}=b’*c\)

Y de esta forma, \( a^{2} + b^{2}=a’c+ b’c=c\left(a’+b’\right) \)

Pero como a’+b’ suman c, se demuestra que \( a^{2} +b^{2}= c^{2} \) , que se demuestra visualmente de la siguiente forma: