La Integral de Gauss

La integral de Gauss

En esta entrada vamos a calcular el valor de la integral impropia de la función gaussiana e^{-x^{2}} sobre todo el dominio de x entre -\infty \ y \ \infty. Es decir, la integral de Gauss.

Es una integral muy peculiar e importante. Por un lado, esta integral tiene amplias aplicaciones, incluyendo la normalización, la teoría de la probabilidad y la transformada continua de Fourier.

Por otro, no existe una primitiva como tal para \int  e^{-x^{2}} dx. Sin embargo, empleando un procedimiento muy curioso, podemos calcular el valor de dicha integral extendida a todo el dominio de x.


El método de resolución

En principio no podemos calcular directamente la integral, por lo que en un primer paso calculamos su valor al cuadrado.

I= \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-x^{2}} dx

I^{2}= \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-x^{2}} dx \ * \  \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-x^{2}} dx

¿Bien? Ahora, en vez de considerar 2 veces la variable x, una de las integrales la integramos respecto a y, extendiendo la integral al recinto de R^{2} convirtiéndola en una integral doble.

I^{2}= \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-x^{2}} dx \ * \  \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-y^{2}} dy=

= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-x^{2}}* e^{-y^{2}} dxdy= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty}   e^{-(x^{2}+ y^{2})} dxdy

¿Sigues estando de acuerdo? Ahora llega el truco. Estamos integrando en todo el recinto de R^{2} que, en coordenadas polares, equivale a integrar con \ \theta \ entre \ 0 \ y \ 2\pi y con r \ entre \ 0 \ y \ \infty.

Vamos a realizar un cambio de variable a polares, y eso supone multiplicar por el jacobiano r. Además, sabemos que x^{2}+y^{2}=r^{2}.

I^{2}= \int_{-\infty}^{\infty}  \int_{-\infty}^{\infty}   e^{-(x^{2}+ y^{2})} dxdy  =

= \int_{0}^{\infty}  \int_{0}^{2\pi}   r*e^{-r^{2}}   d\theta dr =2\pi    \int_{0}^{\infty}   r*e^{-r^{2}}  dr

Y sabiendo que \int  r*e^{-r^{2}} dr= -\frac{1}{2}e^{-r^{2}} + C

I^{2}=2\pi * [-\frac{1}{2}e^{-r^{2}}]_{0}^{\infty}=\pi * [-\frac{1}{e^{\infty}} + e^{0}]=\pi

Llegando finalmente a I=\sqrt{\pi}, por lo que se tiene que la integral de Gauss es:

 \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada.