Los 7 Acertijos Matemáticos Vol.1

¡Muy buenas a todos! En esta entrada, como habréis adivinado por el título, voy a presentar una serie de acertijos matemáticos nivel medio-alto para poner a prueba a mis lectores.

La dinámica va a ser la siguiente: propondré 7 acertijos pero no pondré la solución. Voy a dejar que vosotros seáis los que los resolváis, y para ello tendréis que poner un comentario con la solución y una breve explicación de cómo habéis llegado a ella. Voy a ordenarlos de menos a más difícil para hacerlo más emocionante. Una vez hayáis resuelto el acertijo, editaré la entrada añadiendo el desarrollo de la solución y pondré el nombre con el cual habéis publicado el comentario.

Cabe destacar que los comentarios del blog deben ser aprobados manualmente por mí (así evito el SPAM) pero los apruebo todos en menos de 24h sean buenos o malos, por lo que si no aparece vuestra respuesta esperad unas horas.

Además, dejaré un par de pistas en los comentarios por orden de acertijo para no haceros spoiler si no queríais ver nada. Por eso recomiendo empezar por el primer acertijo y si no lo sacáis ni con ayuda ir a por el siguiente.

Enunciados

Soluciones

Números agrupados

Carlos Cajo ha encontrado la solución. La respuesta es:

(3,8,35)

(4,7,30)

(5,6,28)

El producto de todos los números es \(2^{9} \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7^{3}\)

Es decir, que el producto de cada grupo debe ser \(2^{3} \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 840\)

Si, por ejemplo, dividimos \(840\) entre el número más grande \((35)\), nos da como resultado \(24 = 3 \cdot 8\). Es decir, que un grupo es (3,8,35).

Haciendo lo mismo para el número \(30\), obtenemos \(24 = 4 \cdot 7\). Es decir, que otro grupo es (4,7,30).

El último grupo sale por descarte y haciendo el mismo razonamiento: (5,6,28)

Juego de dados

Jose ha dado con la solución:

Tenemos 2 dados de 6 caras cada uno, por lo que hay 36 posibles combinaciones. La probabilidad de sacar cada uno de los números es:

• 2: 1 y 1 -> 1
• 3: 1 y 2, 2 y 1 -> 2
• 4: 1 y 3, 3 y 1, 2 y 2 -> 3
• 5: … -> 4
• 6: …-> 5
• 7: …-> 6
• 8: …-> 5
• 9: …-> 4
• 10: 4 y 6, 6 y 4, 5 y 5 -> 3
• 11: 6 y 6, 6 y 5 -> 2
• 12: 6 y 6 -> 1

Es decir, que en 15/36 combinaciones salen los números ganadores. Esa es la probabilidad de ganar al lanzar los dados.

Tras empezar el juego, existen 3 posibilidades:

• Ganar 2 veces seguidas: La probabilidad de ganar 2 veces seguidas es 5/12 * 5/12 = 25/144
• Perder 2 veces seguidas: La probabilidad de perder 2 veces seguidas es 7/12 * 7/12 = 49/144
• Ganar y perder o Perder y ganar: La probabilidad de ganar y perder o perder y ganar es 2 * 5/12 * 7/12 = 70/144

Lo que ocurre es que cuando se gana y pierde se vuelve otra vez al inicio. Es decir, que hasta que no se gana o pierde 2 veces seguidas no se acaba el juego.

La probabilidad de salir ganador será por lo tanto la probabilidad de ganar 2 veces seguidas + la probabilidad de quedar igual * probabilidad de salir ganador. Matemáticamente resulta:

\(P = \dfrac{25}{144} + \dfrac{70}{144} \cdot P \rightarrow P = \dfrac{25}{74}\)

Carrera matemática

Alberto C. M. h dado con la solución:

En primer lugar expresamos el enunciado en forma matemática con el álgebra. Llamando \(t_{X}\) al tiempo empleado por el corredor \(X\) para llegar a la meta y a \(v_{X}\) a la velocidad del corredor \(X\), tenemos las siguientes relaciones:

\(v_{A}\cdot t_{A} = 100\)

\(v_{B}\cdot t_{B} = 100\)

\(v_{C}\cdot t_{C} = 100\)

\(t_{A} \cdot v_{B} = 95\)

\(t_{B} \cdot v_{C} = 90\)

\(t_{A} \cdot v_{C} = ?\)

Tenemos 5 ecuaciones para 3 incógnitas. Es decir, que de resolver el problema obteniendo todos los tiempos y velocidades, deberíamos de expresar las variables en función de una de ellas. Esto es lo que ha hecho Alberto, dejar la velocidad del A como variable independiente y expresar el resto de variables en función de ella y luego tomar cualquier valor. No obstante, en este caso nos piden obtener el valor de un producto, por lo que el parámetro independiente desaparece.

Obtendremos el valor de \(t_{A}\) y \(v_{C}\) usando \(t_{B}\) y \(v_{B}\) como intermediarios:

\(t_{A} = \dfrac{95}{v_{B}}\) \(v_{C} = \dfrac{90}{t_{B}}\)

El producto resulta:

\(t_{A} \cdot v_{C} = \dfrac{95 \cdot 90}{v_{B} \cdot t_{B}} = \dfrac{8550}{100} = 85.5\)

Es decir, que el corredor \(C\) habrá recorrido \(85.5\) metros cuando el \(A\) llegó a la meta. Por lo tanto la distancia de separación es \(14.5\) metros.

Suma y resta cuadrática

MGL ha dado con la solución:

Tomando la primera pareja de números podemos expresarla como:

\(100^{2} – 99^{2} = (100+99) \cdot (100-99) = 100 + 99\)

Lo mismo ocurre para el resto de parejas, simplificando el sumatorio a uno más sencillo:

\(100 + 99 + 98 + 97 + … + 3 + 2 + 1\)

Que, a pesar de ser más sencillo, sigue sin ser trivial. El truco para poder calcular manualmente el sumatorio es agrupar las sumas: \(100 + (99+1) + (98+2) + … + (52 + 48) + (51 + 49) + 50\)

O, lo que es lo mismo:

\(100 \cdot 50 + 50 = 5050\)